作家：Anders Kock（安德烈亚斯·科克，丹麦奥胡斯大学）2023-6-30

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-3

弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere）是20世纪末于今最有影响力的东谈主物之一，因为他通过更正限制论器具来颐养和简化数学。本文尝试形容这也曾由中的一些里程碑和愿景。

1 一语气统物理（Continuum physics，即一语气介质物理）

劳维尔出身于1937年2月，是印第安纳州芒西的一个农民的女儿。他在印第安纳大学学习物理学，很快就以为推理需要遴荐更多可用的以及更明确的基础，尤其是在一语气统（一语气介质）物理学中。他在印第安纳州是施普林格期刊《感性力学与分析档案 Archive for Rational Mechanics and Analysis》首创东谈主克利福德·特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）的学生。特鲁斯德尔也有近似的基础议程。劳维尔此时已经看到了限制论行径的必要性。第一步是为了杀青“限制能源学 categorical dynamics”（其中一些在1960年代末杀青）。要道的一步是他对函数空间造成的限制论表述，用到了通用性（陪同函子 adjoint functor）：笛卡尔闭限制（Cartesian closed categories）。

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F.威廉·劳维尔，布拉加，2007年3月

特拉斯德尔暗里不绝了艾伦伯格，以促使劳维尔动作艾伦伯格的博士生插足哥伦比亚大学（1960-63），其中1961-63年有一次中断，其时劳维尔去了加利福尼亚，从行家塔斯基（Tarski），斯科特（Scott）等那边学习更多的鸠集论和逻辑。在加州时期，劳维尔完成了他（在哥伦比亚大学）对于代数表面的函子语义学的博士论文，其中越过是代数表面的意见所以无暗意的花式给出的。

2 鸠集的限制

对于劳维尔本东谈主来说，他寻找可用和可教的数学基础的更正点，是1963-64年在俄勒冈乡镇德学院担任助理耕作。2007年在布拉加 （葡萄牙）玛丽亚·曼努埃尔·克莱门蒂诺（Maria Manuel Clementino）和乔治·皮卡多（Jorge Picado）对劳维尔进行的稠密采访中[2]，劳维尔说：

在里德，我被训诫，微积分的第一年应该专注于基础，第二年教公式。因此[...]我花了几个星期的准备时辰试图计算基于ZF（策梅洛-弗兰克尔，Zermelo–Fraenkel）鸠集论的微积分课程。但是，厚重评估之后发现，从遮掩微分和积分的积归档次结构中，界说层数太多，而无法在一年内完成这些档次。康托尔无结构鸠集的限制结构似乎既简便又接近。因此，鸠集限制的基本表面产生于隧谈的施行耕作需要。

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F. W.劳维尔， A. Heller， R. Lavendhomme （后排）和A. Carboni在葡萄牙科英布拉的CT99

劳维尔的好多半学确立（意见，构造和定理）是由于悉力更正微积分和工程数学素质的效果，何况这些悉力导致他得出论断，数学（即使是微积分课程）的可行基础，不成在ZF中使用x∈y（成员）来表述，但不错字据映射的意见来表述ƒ: A → B（偏激合成）。劳维尔，在2007年布拉加的采访中说[2]:

从形而上学上讲，不错说这些发展守旧了，即使在鸠集论和初等数学中，正如在高等代数和拓扑学中弥远以来所感受到的那样，这亦然正确的，即数学的骨子并不存在于骨子中，（∈“属于”是不可约的谓词它看起来很像骨子），而是存在于神志中（举例由通用映射属性界说，有影响的意见是同构不变结构）。与代数和拓扑学一样，这里用于精准抒发和灵验处理这些想法的具体本领机器，是由Eilenberg-Mac Lane的限制论，函子和当然变换表面提供。

在里德学院学习一年后，劳维尔去了苏黎世，1964-66年他在那边拜访了贝诺·埃克曼数学研究所。埃克曼到手眩惑了多位限制论学家参与。值得防卫的是，票据（monad）的意见以及它与代数表面和同调性的关系被诞生（见[3]）。

从苏黎世启程，不错参加在德国南部隔邻的Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的研讨会。在这里，劳维尔际遇了彼得·加布里埃尔（Peter Gabriel），并向他学习了格罗滕迪克（Grothendieck）的几何学行径，如SGA4中所述[1]。

3 格罗滕迪克

格罗滕迪克的职责对劳维而其后的职责产生了根人道的影响。他们第一次碰面是在尼斯的ICM（1970年海外数学家大会），他们王人是受邀演讲者。劳维尔在这里公开反对格罗滕迪克在一个单独的演讲中宣传他的“生活”指挥。

1973年，他们王人来访布法罗（Buffalo）。劳维尔在布拉加的采访中说：

我涌现地铭刻他指示我代数几何的基本见识，如“点具有自同构”。1981年，我去法国南部的一块薰衣草田中他住的石屋看望他，商议他对一个名堂的看法[...]。我临了一次见他是在1989年的归拢个方位（Aurelio Carboni从米兰开车送我去那边）：他高傲很欢笑见到我，但因为宗教誓词不语言；他在一张纸上写谈，他也被退却有计划数学，尽管很快他的数学灵魂到手了，留给我一些珍稀的数学札记。

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1997年3月在葡萄牙科英布拉讲学

4 限制能源学和抽象微分几何

在1967年的大部分时辰里，劳维尔是芝加哥大学的助理耕作。劳维尔在这里运行在高等讲座系列中应用格罗滕迪克的拓扑斯（topos）表面，围绕一语气介质力学的简化基础问题，灵感来自Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）的公理化。该系列Mac Lane，Jean Bénabou，Eduardo Dubuc等东谈主包括作家（其时正在劳维尔的领导下完成一篇论文）出席了会议。研讨会的越过产出不是所有熟练的限制能源学，而是它的能源学基础的想法：对于假设的 “无尽小”对象D（专揽假设空间限制的笛卡尔闭结构），具有可暗意的切丛结构T(M) = Mᴰ。这种“能源学”（kinematic）想路的一个方面其后被一些东谈主发展为一个熟练的“抽象微分几何”（synthetic differential geometry）。

代数几何的聪惠，这是限制能源学中发展的基础，也不错引入并应用在圭臬光滑微分几何；劳维尔使用代数表面（在他1963年论文的敬爱敬爱上），即n元运算是光滑函数ℝⁿ → ℝ的表面，至关紧迫的是不条目使用生成元和关系暗意。

5 初等拓扑斯、代数几何和逻辑

劳维尔于1968-69年回到苏黎世科学研究所（Forschungsinstitut）。此时的他，已经更信服，拓扑斯不仅动作限制能源学的布景，而且适用于鸠集论和逻辑的意见：布尔值模子，和力迫（如科恩Cohen 1963年对于一语气统假设的职责）。在布拉加的采访中，他说：

这些高傲所有不同的拓扑斯，波及无尽小的指挥和高等逻辑，可能是归拢个简便公理表面的一部分，是我 1967 年芝加哥课程的承诺。直到我第二次待在科学研究所之后，它才成为现实。1968-69年在瑞士苏黎世的时间，我发现了拓扑斯的幂集函子是研究以基本术语抒发造成相伴层（associated sheaf）的运算问题的效果，以及1969-1970之后通过我与迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）的合作 [...]。

此次合作发生在哈利法克斯（加拿大）：1969年，劳维尔在哈利法克斯的达尔豪西大学取得了着名的基拉姆耕作职位，其时被允许邀请十几个合作家（其中包括蒂尔尼），相通得到基拉姆的守旧。这意味着在1969年至1971年时间，达尔豪斯成为一个吵杂的方位；越过是在数学上，初等拓扑斯的意见在这里迟缓明确结晶。值得防卫的是，劳维尔组织了SGA4[1]的预印本版块（exposé I-IV）被分发给他的研讨会的参与者（SGA4是阿廷，格罗滕迪克和韦迪尔的 “Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas”，直到1972年才谨慎出书）。

但是，在1971年，达尔豪西的梦之队被驱散了；大学行政部门拒却与劳维尔续约左券，因为他的政事行径抗议越南干戈和反对特鲁多的《战时条例》，以恐怖主义危机为借口暂停民事目田。（但在1995年，达尔豪斯主持了行径庆祝限制论50年，劳维尔有参与）

劳维尔在1971年迟延哈利法克斯前夜组织的一次会议，有紧迫的标题：“拓扑斯，代数几何和逻辑“，此次会议的论文集发表于1972年[6].

1971年离开哈利法克斯后，劳维尔成为奥胡斯（丹麦）的客座耕作（1971-72年），以及佩鲁贾（意大利）的客座耕作（1972-73年）。这些年，从哈利法克斯带来的拓扑斯表面的新见识，得到稳当和更平庸传播。另外，1973年劳维尔临了假寓在布法罗（好意思国），以时短时长的拜访停留，与他的欧洲一又友和合作家保捏密切不绝；这包括1980-81年在IHÉS（巴黎）的一年。

咱们在哈利法克斯和其后学习的拓扑斯越过是“gros toposes 大拓扑斯”（如单纯集的拓扑斯），与“petit toposes 小拓扑斯”（如拓扑空间上的层拓扑斯）相对。这是SGA4，IV.4.10中所作的分袂。这种区别对劳维尔而言是研究拓扑斯限制的一种输入，即在它们的函子相互关系中的拓扑斯。这些研究是由好多研究东谈主员开拓的，并纪录在好多半学专著、著述理会议中（有或莫得会议法子）。劳维尔极度积极地参与会议，经常动作特邀主讲东谈主；他对取得他的想法的钞票以及愿景以书面神志写下来不太积极。举例，他1967年在芝加哥对于限制能源学的始创性演讲，直到1978年才以书面神志在奥胡斯举行的捏续“绽放日”夏令会议中处理，主题为“几何中的拓扑斯表面行径”[5]。

1982年，劳维尔（与他在布法罗的共事Steve Schanuel史蒂夫·沙努埃尔一谈）在布法罗组织了一次会议，“一语气介质物理学中的限制”，一语气介质物理学的好多主要研究东谈主员也参与其中，比如Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）。会议纪录中的三篇著述 （发表在[8]) 处理热力学基础问题。

劳维尔于1977年在达勒姆紧迫的大型夏令会议的科学领导委员会中，其“层的应用” [4]，符号着在数学和物理表面意见化中专揽相对简便的主题的淘气。劳维尔在达勒姆作念了一个对于“热力学基础中的限制”的演讲，但是，我无法找到书面纪录。另一方面，照实不绝于劳维尔在此次会议上的演讲（有强烈的申辩）的纪录，标题是“数学的逻辑”，劳维尔在演讲中说了他对数学形而上学和发展的看法。我把它包括在内，因为淌若莫得反应他的政事/形而上学生活和职责中欠和谐的脾气，那么劳维尔的讣告是不完好的：

在这场达勒姆申辩中，劳维尔在演讲运行时说（字据我的札记和操心）：

数学是研究空间神志和数目关系的科学。数学的办法是什么？其办法是清爽这种关系，以便动作东谈主们协作起来料理分娩战争中的问题（不是数知识题）以及这种战争的负责性（即科学实验）的基础。

在演讲的早期阶段，已经出现了一位不雅众一个打断性的问题（可能是修辞）说：“分娩的办法是什么？” 劳维尔想了好霎时才恢复：“带你来这里！”

在演讲的后期，劳维尔说：

数学逻辑的办法；清爽和简化学习、使用和数学的发展。[...]辩证的花式：还有一个反办法：无极、复杂化和禁绝数学的学习、使用和发展。越过是，通过促进来冻合髻展：接头免强一切王人插足一个目空一生的框架[...]。这两个办法在咱们每个东谈主的内心王人在相互战争。[...]日常，反办法胜过办法。这是因为反办法妥当管辖阶层的利益。这是往常100年来发生了弘远变化的事情。掌握资产阶层的利益反对分娩力的发展。

6 公理内聚

这不是一个提供（我也无法提供）劳维尔数学和形而上学职责的所有方面完好综述的方位。再提供一些要道词：概率、限制逻辑、方针/纤维限制、度量空间动作充实后的限制，语言学，平庸与密集数目，物理量限制，格拉斯曼，公理内聚。

正如劳维尔2007[7]所讲，公理内聚的想法尤其导致了最近的新发展。

以下是2007年出书物的援用：

需要明确的内聚科学来阐发能源学数学表面的多样布景模子。这么的科学需要有满盈的发达力，来阐发这些布景与其他数学限制有何不同，以及相互之间也不同，但又如斯协作，以致于它们不错相互飘浮。这种相互调节的日常例子是天气预告员从有限元行径（不错看作是组合拓扑斯中的分析）到一语气介质热力学方程（不错看作是光滑函数和漫衍所在的光滑拓扑斯的分析）的应用。

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F. W. 劳维尔与作家在苏黎世Odeon咖啡馆， 1966年秋天

这种内聚公理科学的基础是一串四个函子p!  ⊣  p^*  ⊣  p_*  ⊣  p^! ，字符串中的每个字符串王人与下一个字符串左陪同。此类字符串的示例 在拓扑中很熟悉：

p! 将某空间的不绝组件的鸠集关联到（充分好的）该空间，p^* 将鸠集上的芜乱空间结构关联到该鸠集，P_* 将其点集关联到该空间，临了P^! 将鸠集上的协芜乱空间结构关联到该鸠集。在拓扑斯限制中，这种字符串的属性组成了上述引文中条目的诸多远离。

劳维尔建议的好多想法中唯有一部分已经写出来，更无须说发表、成形，但只以种子的神志存在于身边东谈主的想想和札记中。

也许，改日硕果累累的植物将从这些种子中长出来。淌若种子更容易取得，种子的发芽将得到加强。一些诞生此类档案的行径正在开展，越过是在 https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere

对于作家：

安德斯·科克（Anders Kock）是丹麦奥胡斯大学数学系名誉耕作。他于1963年毕业于奥胡斯大学，并于1963-67年在芝加哥和苏黎世的劳维尔领导下攻读博士学位。他于1969-70年在哈利法克斯担任博士后，并于1971-72年在奥胡斯与劳维尔合作。1973年5月、1978年5月、1983年6月，他在奥胡斯组织了为期两周的绽放日研讨会（劳维尔参加了这些研讨会），并从1966年到2018年参加了好多限制表面会议和研讨会。他是几本书的作家，如《Synthetic Differential Geometry 抽象微分几何》（剑桥大学出书社，1981年，2006年第2版）和《流形的抽象几何》（剑桥大学出书社，2010年）。

参考府上

[1] M. Artin， A. Grothendieck and J. L. Verdier， Théorie des topos et cohomologie etale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Math. 269， Springer， Berlin (1972)

[2] M. M. Clemetino and J. Picado， Inteview with F. William Lawvere. http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf (2007)

[3] B. Eckmann (ed.)， Seminar on triples and categorical homology theory (ETH 1966/67). Lecture Notes in Math. 80， Springer， Berlin (1969)

[4] M. P. Fourman， C. J. Mulvey and D. S. Scott (eds)， Applications of sheaves. Proceedings of the research symposium on applications of sheaf theory to logic， algebra and analysis (Durham 1977)， Lecture Notes in Math. 753， Springer， Berlin (1979)

[5] A. Kock (ed.)， Topos theoretic methods in geometry， Various Publications Series 30， Aarhus University， Aarhus (1979)

[6] F. W. Lawvere (ed.)， Toposes， algebraic geometry and logic. Lecture Notes in Math. 274， Springer， Berlin (1972)

[7] F. W. Lawvere， Axiomatic cohesion. Theory Appl. Categ. 19， no. 3， 41–49 (2007)

[8] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel (eds.)， Categories in continuum physics. Lecture Notes in Math. 1174， Springer， Berlin (1986)

[9] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel， Conceptual mathematics. Cambridge University Press， Cambridge (1997) (2nd ed. 2009)

[10] https://euromathsoc.org/magazine/articles/143

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